L’aire d’un disque façon Archimède

Quand on pense au cercle ou au disque, on se rappelle peut-être du nombre \( \pi \) et des mystérieuses formules pour calculer le périmètre \( P \) et l’aire \( A \) d’un disque de rayon \( r \) :
$$ P = 2 \pi r \qquad A = \pi r^2. $$

Mais d’où sortent ces formules ?

Le périmètre

Pour le périmètre \( P \), en fait on ne peut pas exactement démontrer la formule ci-dessus. En effet, cette formule correspond plutôt à une définition du nombre \( \pi \). Expliquons un peu : dès l’Antiquité, on découvre que le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre est constant, c’est-à-dire qu’il reste le même peu importe le cercle qu’on observe. On a depuis donné un nom à ce rapport, c’est le célèbre nombre \( \pi \). Ainsi, dans tout cercle on a par définition la relation
$$ \pi = \frac{P}{d} $$
où \( d = 2r \) désigne le diamètre de ce cercle. De là, on en déduit notre formule \( P = 2 \pi r \).

L’aire

En revanche, il est moins évident d’obtenir la formule permettant de calculer l’aire d’un disque simplement à partir de la définition du nombre \( \pi \). Pour parvenir à ses fins, le scientifique grec Archimède découpe un disque en plusieurs pièces, qu’il réarrange de manière astucieuse, illustrée ci-dessous. En bougeant le curseur, vous pouvez modifier le nombre de pièces utilisées dans ce découpage. À partir de là, arriverez-vous à retrouver la démonstration originale d’Archimède ? Pas de panique, si vous séchez, on vous donne la réponse tout de suite après !

Alors, qu’observe-t-on ? Le disque est découpé en plusieurs secteurs circulaires (c’est comme ça qu’on les appelle), qui sont ensuite regroupés pour former un figure un peu biscornue. Avec peu de pièces, rien de très intéressant jusque là. Mais vous aurez probablement remarqué que plus le nombre de pièces augmente, plus cette figure ressemble finalement à un rectangle. Comme le disque à gauche et la figure biscornue à droite sont formés des même pièces, ils ont exactement la même aire. Ainsi, en poussant le raisonnement plus loin, on a envie de dire que l’aire \( A \) du disque est égale à l’aire du rectangle qui semble apparaître lorsque le nombre de pièces augmente. Si on note \( \ell \) la longueur de ce rectangle et \( L \) sa largeur, on devrait donc avoir la relation :
$$ A = \ell \times L. $$

Maintenant, existe-t-il un lien entre les dimensions \( \ell \) et \( L \) de ce rectangle et les dimensions du disque ? Oui ! N’hésitez pas à revenir vers la figure pour essayer de les retrouver vous-même.

• la longueur \( \ell \) du rectangle (correspondant aux traits épais de la figure) provient des bords courbes de chaque secteur angulaire (qui paraissent d’ailleurs de moins en moins courbés lorsque le nombre de pièces augmente). Plus précisément, si on regarde les deux côtés horizontaux du rectangle, on retrouve exactement la circonférence du disque initial, ce qui permet d’établir la relation
  $$ 2 \times \ell = P. $$
  Lien entre périmètre du disque et longueur du rectangle
• la largeur \( L \) du rectangle correspond à la distance entre le sommet pointu du secteur circulaire au bord du rectangle, et un point sur le bord courbé de ce même secteur circulaire. Cette longueur n’est autre que le rayon du disque de départ ! Autrement dit :
  $$ L = R. $$
  Lien entre rayon du disque et largeur du rectangle

Fort de ces deux observations, on peut conclure que le périmètre du disque et son aire sont liés par la formule
$$ A = \frac{P}{2} \times R. $$
Comme \(P = 2\pi R\), on retrouve bien la formule \( A = \pi R \times R = \pi R^2 \).

Pour conclure …

Bon, pour être honnête, le raisonnement ci-dessus est un petit peu approximatif : notre figure biscornue n’est jamais véritablement un rectangle, elle ne fait que s’en rapprocher. Mais derrière tout ça se cache le concept mathématique de limite, qu’on pourrait utiliser pour démontrer rigoureusement que tout ce qu’on vient de dire dans cet article est bien correct. Cela dit, ça n’enlève rien à la beauté de la « démonstration » d’Archimède, n’est-ce pas ?