Le théorème fondamental de l’analyse

Le théorème fondamental de l’analyse, qu’on attribue à Isaac Newton vers la fin du XVII^e siècle, c’est cette belle formule : $$\int_a^bf'(t)dt=f(b)-f(a).$$ Nous allons tenter de comprendre les différents symboles qui y sont mis en jeu, et ce qu’elle essaye de nous dire. Pour cela… direction le Cirque de puces !

Vitesse moyenne et vitesse instantanée

La puce que vous avez sous les yeux est une puce savante : à chaque signal que vous lui donnerez, elle jouera la funambule et parcourra une portion de fil le plus rapidement possible : Mais fournit-elle assez d’efforts pour être la vedette de notre numéro ? Pour le savoir, testons-la, et commençons par mesurer sa vitesse. On va devoir en distinguer deux types : sa vitesse moyenne, et sa vitesse instantanée.

• La vitesse moyenne, c’est celle qui dit que si nous avons roulé \(160\) kilomètres en \(2\) heures, nous avons roulé en moyenne à \(80\,\mathrm{km/h}\). Elle est donnée par la formule ci-dessous : $$\text{vitesse moyenne} \,= \,\frac{\text{distance parcourue}}{\text{temps de trajet}} \,= \,\frac{\text{position d’arrivée}\, -\, \text{position de départ}}{\text{temps d’arrivée}\, -\, \text{temps de départ}}.$$ Si l’on note \(t\) et \(\delta\) les temps de départ et d’arrivée, puis \(f(t)\) et \(f(\delta)\) les positions de départ et d’arrivée, elle se réécrit de manière plus concise : $$v_\text{moy}=\frac{f(\delta)-f(t)}{\delta-t}.$$ Ici, le en moyenne est important, car on peut très bien avoir roulé à \(160\,\mathrm{km/h}\) durant la première heure, et s’être arrété pique-niquer (ou au contrôle de police) sur le bord de la route l’heure suivante. Pour ce qui est de notre puce, elle parcourt \(1\) portion de fil en \(2\) secondes : elle galope donc à une vitesse moyenne de \(\frac{1}{2} \text{ portion/s}\) (ce qui est bien mais pas top pour une puce de ce niveau).
• La vitesse instantanée, c’est celle qui rend compte de notre allure à un instant précis. Comment la calcule-t-on ? Et bien, on va mesurer la vitesse moyenne en se fixant un instant de départ, et en prenant un temps de trajet très petit. L’idée est que si, par exemple, on roule \(100\) mètres en \(3\) secondes, et que l’on maintient notre allure, on parcourra \(120\) kilomètres en \(1\) heure : notre vitesse à cet instant-là est donc de \(120 \mathrm{km/h}\). Pour être encore plus précis, cet intervalle de \(3\) secondes est même encore trop grand : on peut avoir été pris d’une soudaine envie d’accélerer au bout de \(2\) secondes derrière un tracteur. Il nous faudrait en fait considérer un temps de trajet infimement petit : on retrouve là le concept de limite qui a déjà été aperçu du côté de l’article l’aire d’un disque façon Archimède. À l’aide de notre puce, nous allons essayer de nous familiariser avec cette notion. D’abord, faisons apparaître sur un même dessin les deux données qui nous intéressent, le temps (horizontalement) et la position sur la ficelle (verticalement).
  La courbe dessinée par la puce
  Ensuite, calculons différentes vitesses moyennes en jouant sur notre temps de départ \(t\) (curseur \(\bullet\)) et notre temps d’arrivée \(\delta\) (curseur \(\times\)), et observons ce qu’il se passe lorsque les deux curseurs se rapprochent.
  Mesures de vitesses moyennes et instantanées
  Le nombre que l’on obtient s’interprète comme la pente de la droite tracée : plus ce nombre est grand, plus la droite est penchée. De plus, lorsque les deux curseurs sont superposés, on observe une droite « limite » qui épouse au mieux la forme de la courbe, et c’est la pente de cette droite que nous allons choisir pour désigner la vitesse instantanée de notre puce à l’instant \(t\). On la notera \(f'(t)\), le nombre dérivé de la position de la puce à l’instant \(t\). À ce propos, cherchons l’instant en lequel notre puce est la plus rapide… incroyable, il semblerait qu’elle atteigne une vitesse d’ \(1 \text{ portion/s}\) vers la moitié de son trajet ! C’est assez impressionnant, j’espère que vous vous en rendez compte : elle passe avec brio le premier test. Bon, et vérifions quand même que ce nombre corresponde bien à une vitesse : observons à nouveau notre puce se déplacer, en ajoutant sur la figure une flèche dont la longueur est égale au nombre dérivé.
  La puce et sa vitesse
  Cela semble bien convenir : on dirait que la flèche tracte la puce plus ou moins rapidement selon sa longueur. Ainsi, nous connaissons dorénavant la signification du symbole \(f'(t)\), et il ne nous reste donc plus qu’à expliquer celle de \(\int_a^b\dots dt\) pour comprendre le théorème ! Et pour cela… continuons de tester notre puce.

Position moyenne

La puce doit être rapide, mais aussi agile pour que le numéro soit esthétique : on exige que son déplacement soit réparti équitablement le long du fil, c’est-à-dire que sa position moyenne soit précisemment le centre du fil. Si elle n’est pas assez concentrée, elle pourrait passer plus de temps sur la moitié inférieure du fil que sur la moitié supérieure, ou inversement, et le public se rendrait compte de ce disgracieux défaut. Le prochain problème va donc consister à calculer cette position moyenne. Commençons par nous exercer sur une puce moins vivace. Hmm, celle-ci a tout misé sur l’agilité, mais il faut que quelqu’un se dévoue pour lui parler du test de vitesse… Sa position moyenne est bien sûr le centre du fil, qu’elle occupe pendant tout son « trajet ». Malgré son inertie, elle va peut-être nous guider sur la manière de calculer plus généralement une position moyenne. Effectuons à nouveau un tracé de courbe, comme nous l’avions fait avec sa grande sœur, mais en ajoutant une nouveauté : Nous faisons à présent figurer l’aire sous la courbe tracée par la puce. Celle-ci est facile à calculer, c’est celle d’un rectangle : elle est donnée par la formule \(\mathcal{A}=L\times l\). Ici, la longueur \(L\) correspond à la durée du temps de trajet, tandis que la largeur \(l\) correspond à la position moyenne de notre puce. Elle est ainsi donnée par la formule : $$l=\frac{\mathcal{A}}{L}.$$ Adaptons nos notations : on va appeler \(g(t)\) la position de cette puce à un instant \(t\), \(a\) et \(b\) les instants de départ et d’arrivée de son trajet, et nous noterons l’aire par \(\int_a^bg(t)dt\) (on l’appelle l’intégrale de \(g\) de \(a\) à \(b\)). Comme le temps de trajet est donné par \(b-a\), la formule précédente se réécrit en : $$p_\text{moy}=\frac{\int_a^bg(t)dt}{b-a}.$$ Si l’on applique cette formule pour trouver la position moyenne de la première puce, on obtient bien le milieu du fil, comme on peut l’interpréter géométriquement sur la figure suivante : Je regrette d’avoir douté d’elle, c’est une vedette-née. Elle tiendra l’affiche du prochain spectacle ! Mais… où en est-on vis-à-vis de notre théorème ? Il nous reste un tout dernier détail à régler : dans la formule, le symbole \(\int_a^b\dots dt\) n’entoure pas une position \(f(t)\) ou \(g(t)\), mais une vitesse \(f'(t)\). La courbe sous laquelle nous allons mesurer une aire n’est donc pas une courbe décrivant une position, mais une courbe décrivant une vitesse : vous souvenez-vous de cette flèche que nous avions obtenue à la fin de la première partie ? La courbe ainsi tracée représente la taille de la flèche en fonction du temps. La « position moyenne » qu’on calcule ici, c’est donc la taille moyenne de la flèche, autrement dit la vitesse moyenne de la puce : $$v_\text{moy}=\frac{\int_a^bf'(t)dt}{b-a}.$$ Or, nous avions déjà une formule qui donnait la vitesse moyenne entre deux temps \(a\) et \(b\), à savoir : $$v_\text{moy}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},$$ et on retrouve en simplifiant de chaque côté le théorème fondamental de l’analyse : $$\int_a^bf'(t)dt=f(b)-f(a).$$ Ainsi, ce dernier peut s’énoncer comme : « la vitesse moyenne de la puce est égale à la vitesse moyenne de la puce ». Ça valait bien la peine, non ?

Pour conclure…

Bien sûr, l’intérêt de ce théorème est – comme son nom le suggère – bien plus important que ce résumé-là veut le faire croire. On aurait par exemple pu l’énoncer comme : « l’intégrale de la dérivée d’une fonction sur un intervalle ne dépend que des valeurs de la fonction sur le bord de cet intervalle », et avouons que cela sonne tout de suite plus fondamental. C’est d’ailleurs comme cela que s’interprète la formule de Stokes (George, début du XIX^e siècle), l’une des plus belles formules des mathématiques, qui généralise le théorème fondamental de l’analyse : $$\int_Md\omega=\int_{\partial M}\omega.$$ Aurait-il pu prouver un si beau résultat si Newton et ses prédécesseurs ne lui avaient pas mis la puce à l’oreille ?